Soal Matematika Informatika Kelompok 6 (Relasi Rekursif)

1. Tentukan solusi dari relasi rekurensi an + 6an-1 + 9an-2 = 0 !

A. an(n) = (A1 n + A2 ) (-3)n

B. an(n) = (A1 n + A2) (-4)n

C. an(n) = (A1 n + A2) (-5)n

D. an(n) = (A1 n + A2) (-6)n

E. an(n) = (A1 n + A2) (-8)n


Penyelesaian :

Relasi rekurensi homogen : an + 6an-1 + 9an-2 = 0.

Persamaan karakteristiknya adalah

a2 + 6a + 9 = 0

(a + 3) (a + 3) = 0

Hingga diperoleh akar-akar karakteristiknya a1 = a2 = -3, m = 2.

Oleh karena akar-akar karakteristiknya ganda, maka solusi homogennya berbentuk

an (h) = (A1 nm-1 + A2 nm-2) a1n

an(h) = (A1 n + A2) (-3)n.







2.  Tentukan barisan yang merupakan solusi dari relasi rekursi an = 4an-1, jika diketahui ao

= 2.

A. 4n

B. 2 . 4n

C. 3 . 4n

D. 4 . 4n

E. 5 . 4n



Penyelesaian :

an = 4an-1

an = 4(4an-2) = 42 . an-2

an = 4(4(4an-3)) = 43 . an-3

an = 4(4(4(4an-4))) = 44 . an-4

an = 4n . an-n = 4n . ao

an = 2 . 4n

Jadi, barisan an = 2 . 4n merupakan solusi dari relasi rekursi an = 4an-1 dengan nilai awal

ao = 2.




3.  a – an-1 = 2n2,n 1, dan 0 = 9 Solusi Umumnya adalah…..

A. 5 + (n) (n+1)(4n+2)

B. 9 + (n) (n+1)(2n+1) (T)

C. 2 + (n+2)(n)(n+2n)

D. 9 + (n)(n+1)(2n+1)

E.  5+(n)(n+2n)


Penyelesaian :

fn (n) = 2n2, sehingga solusi umumnya :

= A0+ (n(n+1)(2n+1)/6)

= 9 + (n) (n+1)(2n+1)




4. Mana diantara berikut yang merupakan solusi dari relasi rekurensi  dari :

an + 4 an-1 + 4 an-2 = 2n .

A. an(h)  = (A1 nm-1 + A2 nm-2) a1n  , an(h)  = (A1 n + A2 ) (-2)n . (T)

B. an(h)  = (A1 nm + A2 ) (-4)n

C. an(h)  = (A1 nm-1 + A2 nm-2) a1n

D. an(h)  = (A1 nm-1) an(h)  = (A1 n + A2 ) (-2)n

E. an(h)  = (A1 n + A2 ) (-2)n


Penyelesaian:

Relasi rekurensi homogen :                     an + 4 an-1 + 4 an-2 =0.

Persamaan karakteristiknya adalah         a2  +  4 a  + 4 = 0

                                                                (a+ 2) (a + 2) = 0

hingga diperoleh akar-akar karakteristik   a1 = a2 = -2 ,  m = 2,

Oleh karena akar-akar karakteristiknya ganda, maka solusi homogennya berbentuk

an(h) = (A1 nm-1 + A2 nm-2) a1n ,an(h)  = (A1 n + A2 ) (-2)n .




5. Selesaikan relasi rekurensi an = 7an-1, n>1, a2=98

A. an=7n(2) , n>1

B. an=7n(1), n>0

C. an=7n, n>2

D. an=7n(3), n>0

E. an=7n(2), n>0


Penyelesaian:

Untuk n=1, maka a1=7.a0 , a2=7 a1=7(7a0) = 49a0 dari a2=98 maka 98=49a0

Sehingga diperoleh a0 = 2. Jika relasi rekurensi tersebut dideretkan terus maka akan

diperoleh : a3=7 a2=7 (7^2a0) = 7^3a0 ... dan seterusnya.

Sehingga penyelesaian umum dari relasi rekurensi pada soal adalah = an=7n(2), n>0.




6. Diketahui relasi rekurensi Sn = 2Sn-1 dengan syarat awal S0 = 1. Selesaikan untuk

suku ke-n!

A. 2n

B. 2

C. n

D. 4n

E. 6n


Penyelesaian:

Sn  = 2Sn-1

      = 2 (2Sn-2) = 22 Sn-2

      = 23 Sn-3

      = ………

      = 2nS0

      = 2n




7. Diketahui suatu barisan c0, c1, c2, … didefinisikan secara rekursif sebagai berikut :

Untuk semua bilangan bulat k ≥ 2,

Ck = (ck-1 + k) (ck-2 + 1)

Dengan kondisi awal c0 = 1 dan c1 = 2.

Ditanya : Hitunglah c4 !

A. C4 = 30

B. C4 = 31

C. C4 = 32

D. C4 = 33

E. C4 = 34


Penyelesaian :

Oleh karena barisan didefinisikan secara rekursif, maka c5 tidak bias dihitung secara

langsung, tetapi harus terlebih dahulu menghitung c2, c3 dan c4.

 c2 = c1 + 2 c0 + 1

= 2 + 2.1 + 1 = 5

 c3 = c2 + 3 c1 + 1

= 5 + 3.2 + 1 = 12

 c4 = c3 + 4 c2 + 1

= 12 + 4.5 + 1 = 33




'8. Tentukan solusi homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0  dengan kondisi

batas b0 = 0 , b1 = 1 .

A. bn(h)  = (-3)n  +  .2n

B. bn(h)  =   3n +  .2n

C. bn(h)  = (-2)n  +   .3n

D. bn(h)  = (-3)n  +   .2n

E. bn(h)  =  3n + .3n


Penyelesaian :

Relasi rekurensi tersebut adalah relasi rekurensi homogen, karena f(n)=0.

Persamaan karakteristik dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 adalah a2  +  a  -

6 = 0 atau (a+ 3) (a - 2) = 0 hingga diperoleh akar-akar karakteristik a1 = -3   dan a2 =

2.

Oleh karena akar-akar karakteristiknya berbeda, maka solusi homogennya berbentuk

bn(h)  = A1a1n  +  A2 a2n Þ bn(h)  = A1 (-3)n  +  A2 . 2n.

Dengan kondisibatas b0 = 0 dan b1 = 1 ,maka:

b0(h)  = A1 (-3)0  +  A2 . 20                  Þ           0 = A1 +  A2 .

b1(h)  = A1 (-3)1  +  A2 . 21                  Þ           1 =  -3 A1 +  2 A2 .

Bila diselesaikan maka akan diperoleh harga A1 = (-1/5) dan A2 = 1/5 , sehingga

jawab homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 adalah bn(h)  = (-

3)n  +   .2n







9. Berapa banyakkah bilangan Fibonacci antara 10 sampai dengan 100..?

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

E. 8


Penyelesaian:

Dari tabel Fibonacci bisa dilihat bahwa bilangan Fibonacci yang terletak antara 10

hingga 100 adalah sebanyak 5 (lima) buah, yaitu suku ke-6 (13), suku ke-7 (21), suku

ke-8 (34), suku ke-9 (55), dan suku ke-10 (89). Dengan demikian, jawabannya adalah

5.




10. Dengan mengambil satu harga n kemudian anda menjumlahkan bilangan-bilangan

tersebut mulai dari f1 sampai dengan fn maka berapakah n terkecil agar jumlah itu >

150..?

A. 10

B. 9

C. 8

D. 7

E. 6


Penyelesaian :

Dari tabel Fibonacci, dapat kita ketahui bahwa nilai n terkecil agar jumlah seluruh

bilangan Fibonacci dari f1 hingga fn> 150 adalah sebesar 10 (n=10), yang akan

menghasilkan jumlah sebesar 231 (diperoleh dari = 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 +

55 + 89, yang merupakan bilangan Fibonacci dari suku ke-1 hingga suku ke-10).

Sehingga, jawaban yang benar adalah 10.